解题思路：（1）由f（-1）=0可求得b=a+c，利用△=（a-c）2分析判断即可；
（2）假设a，b，c存在，由抛物线的对称轴为x=1可得b=2a，①，由②可求得a＞0，a=c，从而可求得a，b，c的值；
（3）令g（x）=f（x）-[1/2][f（x1）+f（x2）]，可证得g（x1）g（x2）＜0，由零点存在定理可知存在x0∈（x1，x2），使f（x0）=[1/2][f（x1）+f（x2）]成立．
（1）∵f（-1）=0，
∴a-b+C=0，则b=a+c，
∵△=b2-4ac=（a-c）2，
∴当a=c时，△=0，此函数f（x）有一个零点；
当a≠c时，△＞0．函数f（x）有两个零点．
（2）证明：假设a，b，c存在，有（1）可知抛物线的对称轴为x=1，
∴-[b/2a]=-1，即b=2a，①
由（2）可知对任意的x∈R，都有0≤f（x）-x≤[1/2]（x-1）2，令x=1，
得0≤f（1）-1≤0，所以，f（1）=1，即a+b+c=1，②
又因为f（x）-x≥0恒成立，
∴a＞0，
（b-1）2-4ac≤0，即（a-c）2≤0，
∴a=c，③由①②③得a=c=[1/4]，b=[1/2]，
所以f（x）=[1/4]x2+[1/2]x+[1/4]，经检验a，b，c的值符合条件．
（3）令g（x）=f（x）-[1/2][f（x1）+f（x2）]，则
g（x1）=f（x1）-[1/2][f（x1）+f（x2）]
=[1/2][f（x1）-f（x2）]g（x2）
=f（x2）-[1/2][f（x1）+f（x2）]
=[1/2]{f（x2）-f（x1）}，
∵f（x1）≠f（x2）
∴g（x1）g（x2）＜0，所以g（x）=0在（x1，x2）内必有一个实根，
即存在x0∈（x1，x2）使f（x0）=[1/2][f（x1）+f（x2）]成立．
点评：
本题考点： 二次函数的性质；函数零点的判定定理．
考点点评： 本题考查二次函数的性质，考查函数零点的判定定理，考查化归思想与构造函数的思想的综合应用，属于难题．