Question

求函数y=x²-4x+3在【1,4】的最大值及【m,m+2]上的最小值.

Answer 1

y = x²-4x+3 = (x - 2)² - 1,顶点(2,-1)

对称轴为x = 2,在[1,4]内

该抛物线(开口向上)在此区间内的图像在对称轴左侧较少,在对称轴右侧较多

x = 4时,y取最大值(=4*4 - 4*4+ 3 = 3)

需要考虑[m,m+2]的位置

(a)

如果顶点落在[m,m+2]之内,m ≤ 2 ≤ m+2,即0 ≤ m ≤2时,y取最小值 = 顶点的纵坐标 = -1

(b)

如果[m,m+2]全在对称轴x = 2右侧(m > 2),x = m时,y取最小值 = m²-4m+3

(c)

如果[m,m+2]全在对称轴x = 2左侧(m +2 < 2,m < 0),x = m+2时,y取最小值 = (m+2)²-4(m+2)+3

= m² - 1