解题思路：（1）求出函数的定义域，求出导函数，讨论当k为奇数时，当k为偶数时两种情形，然后利用函数的单调性与导函数符号的关系求出单调性．
（2）①由已知得
2
a
n
−
2
a
n
＝
a
2
n+1
−3
a
n
，得到
2(
a
2
n
+1)＝
a
2
n+1
+1
，从而
{
a
2
n
+1}
是以2为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式写出数列{an}的通项公式；
②由
b
n
＝
2
n
a
2
n
•
a
2
n+1
，可得
b
n
＝
2
n
(
2
n
−1)(
2
n+1
−1)
＝
1
2
n
−1
−
1
2
n+1
−1
，下面利用拆项法求Sn并化简，从而得出证明．
（3）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在实数b，使方程使
f(x)＝
3
2
x
2
+x+b
在区间（0，2]上恰有两个相异实根．再利用其等价于方程
2lnx−
1
2
x
2
−x−b＝0
在区间（0，2]上恰有两个相异实根．求出b的范围，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
（1）由已知得x＞0，且f′(x)＝2x−(−1)k•
2
x
当k为奇数时，则f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当k为偶数时，则f′(x)＝2x−
2
x＝
2(x+1)(x−1)
2，
所以当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）是减函数；当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）是增函数．故当k为偶数时，f（x）在（0，1）是减函数，在（1，+∞）是增函数；…（5分）
（2）①由已知得2an−
2
an＝
a2n+1−3
an，即2(
a2n+1)＝
a2n+1+1，而
a21+1＝2≠0
所以{
a2n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，故
a2n+1＝2•2n−1＝2n，而{an}是正项数列，从而可得an＝
2n−1．…（7分）
②由bn＝
2n
a2n•
a2n+1，可得bn＝
2n
(2n−1)(2n+1−1)＝
1
2n−1−
1
2n+1−1
所以Sn＝b1+b2+b3+…+bn＝
1
21−1−
1
22−1+
1
22−1−
1
23−1+…+
1
2n−1−
1
2n+1−1=1−
1
2n+1−1＜1…（10分）
（3）当k为奇数时，f（x）=x2+2lnx，假设存在实数b，使方程使f(x)＝
3
2x2+x+b在区间（0，2]上恰有两个相异实根．等价于方程2lnx−
1
2x2−x−b＝0在区间（0，2]上恰有两个相异实根．令h(x)＝2lnx−
1
2x2−x−b，
则h′(x)＝
2
x−x−1＝
−x2−x+2
x＝
−(x+2)(x−1)
x，
当x∈（0，1）时，h'（x）＞0，当x∈（1，2]时，h'（x）＜0
所以h（x）在（0，1）上是增函数，在（1，2]上是减函数
所以要使方程2lnx−
1
2x2−x−b＝0在区间（0，2]上恰有两个相异实根，等价于
h(1)＝−
3
2−b＞0
h(2)＝2ln2−4−b≤0⇒2ln2−4≤b＜−
3
2
故存在实数b，当b∈[2ln2−4，−
3
2)时，方程f(x)＝
3
2x2+x+b在区间（0，2]上恰有两个相异实根．…（13分）
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；数列与函数的综合．
考点点评： 本题考查利用导函数讨论函数的单调性：导函数为正函数递增；导函数为负，函数递减，同时考查了分类讨论的数学思想方法，属于难题．