Question

定义在R上的函数f（x）满足：如果对任意x1，x2∈R，都有f(x1+x22)≤12[f(x1)+f(x2)]，则称f（

Answer 1

解题思路：（1）利用函数f（x）的解析式，根据凹函数定义即可验证；

（2）由|f（x）|≤1表示出关于a的不等式，利用分离参数法，根据x的取值范围进行分析可得答案．

（1）证明：∵二次函数f（x）=ax²+x

∴任取x₁，x₂∈R，则f(

x1+x2

2)−

1

2[f(x1)+f(x2)]=a（

x1+x2

2）²+

x1+x2

2-[1/2]（a

x21+x1+a

x22+x2）=-[1/2a(x1−x2)2

∵a＞0，(x1−x2)2≥0，∴

1

2a(x1−x2)2≥0

∴f(

x1+x2

2)−

1

2[f(x1)+f(x2)]≤0

∴f(

x1+x2

2)≤

1

2[f(x1)+f(x2)]

∴当a＞0时，函数f（x）的凹函数；

（2）由-1≤f（x）=ax²+x≤1，则有ax²≥-x-1且ax²≤-x+1．

（i）若x=0时，则a∈R恒成立，

（ii）若x∈（0，1]时，有 a≥-

1

x]-[1

x2且a≤-

1/x]+[1

x2

∴a≥-

1/x]-

1

点评：

本题考点： 二次函数的性质；绝对值不等式．

考点点评： 本题考查新定义--凹函数，考查学生对新定义的理解，考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，属于中档题．