Question

有关导数,急,尽量快函数f（x）在负无穷到正无穷上有定义,且对任意x,y都有f（x+y）＝f（x）+f（y）+2xy．证

Answer 1

y = 0 代入已知化简得 f(0)=0

由于 f ' (x) 存在,于是 f '(0) 存在,即是一常数,设为 C = f ' (x) ,

从而 f ' (0) = lim [ f(0+△x) - f(0) ]/△x = lim f(△x)/△x = C ;

任意 x ∈ R ,f ' (x) = lim [ f(x+△x) - f(x) ]/△x = lim (f(△x) + 2x△x)/△x = C + 2x

这里 C = f '(0) .

注：实际上 f(x) = f ' (x)的积分 = x^2 + C x + C ' ,由f(0) = 0,C ‘ = 0,即 f(x) = x^2 + C x .