解题思路：（1）要求抛物线的解析式，由题意知只需要求出点C的坐标即可，而点C的坐标可以根据△AOC∽△COB求得；
（2）根据题意画出图形，由平行四边形的性质两组对边分别平行且相等来确定点M的坐标；
（3）根据抛物线的对称性可知⊙P的圆心在对称轴上，再根据三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等得知PC=PA，根据两点间的距离公式可以求出点P的坐标．
（1））∵∠AOC=∠COB，∠OCA=∠OBC，
∴△AOC∽△COB，
∴OC2=AO•BO=1×4=4，
∴OC=2，
∴C（0，2），
由题意，设抛物线解析式y=a（x-1）（x-4），
∴a（0-1）（0-4）=0，
∴a=[1/2]，
∴抛物线的解析式为：y=[1/2]x2-[5/2]x+2；
（2）①当如图1时，
∵C（0，2），A（1，0），B（4，0），
∴AB=3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴P（3，2）；
②当如图2所示时，同①可知，P（-3，2）；
③当如图3所示时，过点P作PD⊥x轴，
∵四边形ACBP是平行四边形，
∴BD=OA=1，PD=OC=2，
∴OD=4+1=5，
∴P（5，-2）；
综上所述，点M坐标为（3，2）、（-3，2）、（5，-2）；
（3）∵A（1，0），B（4，0），
∴AB中点坐标为（[5/2]，0），
∵⊙P经过点A、B，
∴P在线段AB的中垂线上，可设P（[5/2]，y），
又∵⊙P经过点C，
∴PC=PA，
∴（[5/2]-0）2+（y-2）2=（[5/2]-1）2+（y-0）2，解得y=2，
∴圆心P的坐标为（[5/2]，2）．
故答案为：（1）：y=[1/2]x2-[5/2]x+2；
（2）（3，2）、（-3，2）、（5，-2）；存在．
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 本题考查的是二次函数综合题，要求学生能根据已知三点坐标求二次函数的解析式，把平行四边形的性质和平面直角坐标系点的坐标结合起来，在求⊙P的坐标时运用了抛物线的性质，是一道综合性较强的题目．