Question

设a,b,c为实数,求证方程4ax^3+3bx^2+2cx=a+b+c在(0,1)内至少有一实根

Answer 1

令f(x)=ax⁴+bx³+cx²-(a+b+c)x

f(0)=0,f(1)=a+b+c-(a+b+c)=0

由罗尔定理,在(0,1)区间,必有f'(x)=0必有解.

而f'(x)=4ax³+3bx²+2cx-(a+b+c)

所以4ax³+3bx²+2cx=a+b+c,在(0,1)内至少有一实根.