Question

已知函数f（x）=2x-4x（1）求f（x）的值域（2）解不等式f（x）＞16-9×2x．（3）若关于x的方程f（x）=

Answer 1

解题思路：（1）令t=2^x，把问题转化为二次函数在固定区间上求值域即可．

（2）解关于2^x的一元二次不等式即可．

（3）令t=2^x，转化为求y=t-t²在t∈[[1/2]，2]上的值域即可．

（1）令t=2^x，则t＞0，所以原函数转化为y=t-t²=-（t-[1/2]）²+[1/4]

在（0，[1/2]）上为增函数，在（[1/2]，+∞）上是减函数，

∴y≤[1/4]，f（x）的值域（-∞，[1/4]]．

（2）因为f（x）＞16-9×2^x⇒（2^x）²-10×2^x+16＜0⇒（2^x-2）（2^x-8）＜0⇒2＜2^x＜8⇒1＜x＜3．

所以不等式f（x）＞16-9×2^x的解集为{x|1＜x＜3}．

（3）令t=2^x，因为x∈[-1，1]⇒t∈[[1/2]，2]，

所以关于x的方程f（x）=m在[-1，1]上有解转化为y=t-t²=m在t∈[[1/2]，2]上有解

又因为y=t-t²=-（t-[1/2]）²+[1/4]在t∈[[1/2]，2]上为减函数，

所以y_max=[1/4]，y_min=-2，即-2≤m≤

1

4．

故m的取值范围-2≤m≤

1

4．

点评：

本题考点： 指数函数综合题；函数的零点与方程根的关系．

考点点评： 本题是对二次函数知识的综合考查．既有二次不等式的解法，又有二次函数在固定区间上求值域问题，是一道好题．