解题思路：（1）根据A的坐标，可得出OA的长，根据∠CAO的正切值可求出OC的长，也就能求出C点的坐标．然后根据A、B、C三点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）要想使四边形ADEC为平行四边形，AC与DE必须平行且相等．根据∠CAO的正切值可得出直线AC的斜率．也就得出了直线DE的斜率，联立直线DE和抛物线的解析式求出E点的坐标．由于AC=DE，可用E点的坐标求出DE的长，进而得出t，k的函数关系式；
（3）由于四边形ADEC为矩形，那么AD⊥AC，即直线AC与直线AD的斜率的积为-1．由此可得出t与k的函数关系式．联立（2）的关系式即可得出关于t，k的方程．可求出此时t，k的值．
（1）∵tan∠CAO=3，A（k，0）
（k＜0），又C点在y轴正半轴上
∴C（0，-3k）
∵A（k，o），B（3，0），C（0，-3k）都在抛物线上
∴
9a+3b+c＝0
k2a+kb+c＝0
c＝−3k
∴解得：
a＝−1
b＝k+3
c＝−3k
∴抛物线为：y=-x2+（k+3）x-3k；
（2）∵DE∥AC，tan∠CAO=3
∴直线DE的斜率为：3，又过点D（0，t）
∴直线DE为：y=3x+t
∴联解
y＝−x2+(k+3)x−3k
y＝3x+t．
可得交点为E（
k+
k2−12k−4t
2，
3k+3
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形、平行四边形的判定、矩形的判定和性质等知识点，（2）、（3）中利用好一次函数平行和垂直时斜率的关系是解题的关键．要牢记一次函数的斜率公式：k=y1−y2x1−x2．