解题思路:(Ⅰ)由条件可得f(2)=0,求出导数,可得f′(2)=5,列出b,c的方程,解出即可;
(Ⅱ)求出g(x)的导数,令g′(x)=0,当g(x)的极值存在时,3x2-4x+1+[1/3]m=0必有实根,由△=4(1-m)≥0,得m≤1.讨论m=1,m<1时g(x)的极值即可.
(Ⅰ)由已知可得切点为(2,0),故有f(2)=0,
即4b+c+3=0①,
又f′(x)=3x2+4bx+c,由已知f′(2)=12+8b+c=5,即8b+c+7=0②
由①②解得c=1,b=-1,
于是函数解析式为f(x)=x3-2x2+x-2;
(Ⅱ)g(x)=x3-2x2+x-2+[1/3]mx,导数g′(x)=3x2-4x+1+[1/3]m,
令g′(x)=0,当g(x)的极值存在时,3x2-4x+1+[1/3]m=0必有实根,
由△=4(1-m)≥0,得m≤1.
①当m=1时,g′(x)=0有实根x=[2/3],在x=[2/3]左右两侧均有g′(x)>0,故函数g(x)无极值.
②当m<1时,g′(x)=0有两个实根,x1=[1/3](2-
1−m),x2=[1/3](2+
1−m),
由g′(x)>0得x>x2或x<x1;由g′(x)<0得x1<x<x2.
故当m<1时,函数g(x)有极值:当x=[1/3](2-
1−m)时g(x)有极大值;
当x=[1/3](2+
1−m)时g(x)有极小值.
点评:
本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的极值.
考点点评: 本题考查导数的综合应用:求切线方程和求单调区间、极值,考查分类讨论的思想方法,属于中档题.