由已知得 f(n)=
2n-3
2n+1 f(n-1)(n≥2，n∈ N * )
当n=2时， f(2)=
4-3
4+1 ×f(1)=
1
5 ×
1
3 =
1
15 ，
同理可得 f(3)=
1
35 ，f(4)=
1
63 ---------------------（4分）
猜想 f(n)=
1
(2n-1)(2n+1)
(*) -------------------（6分）
下面用数学归纳法证明（*）成立
①当n=1，2，3，4时，由上面的计算结果知（*）成立------（8分）
②假设n=k（k≥4，k∈N *）时，（*）成立，即 f(k)=
1
(2k-1)(2k+1) ，
那么当n=k+1时， f(k+1)=
2k-1
2k+3 f(k)=
2k-1
2k+3 •
1
(2k-1)(2k+1)
即 f(k+1)=
1
[2(k+1)-1][2(k+1)+1] ∴当n=k+1时，（*）也成立---------------（13分）
综合①②所述，对∀n∈N *， f(n)=
1
(2n-1)(2n+1) 成立．-----（14分）