已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数为f′(x),f′(0)>0,对于任意实数x,有f(x)≥0,则f(1

1个回答

  • 解题思路:由对于任意实数x,f(x)≥0成立求出a的范围及a,b c的关系,求出f(1)及f′(0),作比后放缩去掉c,通分后利用基本不等式求最值.

    ∵f(x)≥0,知

    a>0

    △=b2−4ac≤0,∴c≥

    b2

    4a.

    又f′(x)=2ax+b,

    ∴f′(0)=b>0,f(1)=a+b+c.

    f(1)

    f′(0)=1+

    a+c

    b≥1+

    a+

    b2

    4a

    b=1+

    4a2+b2

    4ab≥1+

    2

    4a2b2

    4ab=2.

    当且仅当4a2=b2时,“=”成立.

    故选A.

    点评:

    本题考点: 导数的运算;函数恒成立问题;基本不等式.

    考点点评: 本题考查了函数恒成立问题,考查了导数的运算,训练了利用基本不等式求最值,关键是通过放缩转化为含有两个变量的代数式,是中档题.