Question

已知函数f（x）=loga（1+x）+loga（3-x）（a＞0且a≠1）．

Answer 1

解题思路：（1）利用对数函数的性质确定函数的定义域．（2）利用复合函数的单调性之间的关系去求值．

（1）要使函数有意义则

1+x＞0

3−x＞0⇒−1＜x＜3…（3分）

∴函数f（x）的定义域为（-1，3）…（4分）．

（2）∵f（x）=log_a（1+x）（3-x）=loga(−x2+2x+3)=loga[−(x−1)2+4]…（6分）

当0＜a＜1时，则当x=1时，f（x）有最小值log_a4，

∴log_a4=-2，a^-2=4，

∵0＜a＜1，∴a＝

1

2…（9分）

当a＞1时，则当x=1时，f（x）有最大值log_a4，f（x）无最小值，

此时a无解…（10分），

综上知，所求a＝

1

2．

点评：

本题考点： 复合函数的单调性；对数函数的单调性与特殊点．

考点点评： 本题主要考查对数函数的性质和运算，要求熟练掌握对数函数的图象和性质．