解题思路：利用两角差的余弦公式求出cosα，然后求出2α的正弦与余弦值，通过两角和的余弦函数，代入数据即可求出结果．
cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ＝
1
3，α∈(
3π
2，2π)，可得cos（α+β-α）=cosα=[1/3]，
所以cos2α=2cos2α-1=−
7
9，sin2α=2sinαcosα=−
4
2
9，
所以cos(2α+
π
4)=
2
2(−
7
9+
4
2
9)=
8−7
2
18；
故答案为：
8−7
2
18．
点评：
本题考点： 三角函数的恒等变换及化简求值．
考点点评： 本题考查两角和与差的余弦公式，同角三角函数的基本关系，二倍角的正切公式的应用，求出cosα是解题的关键．