解题思路:利用两角差的余弦公式求出cosα,然后求出2α的正弦与余弦值,通过两角和的余弦函数,代入数据即可求出结果.
cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ=
1
3,α∈(
3π
2,2π),可得cos(α+β-α)=cosα=[1/3],
所以cos2α=2cos2α-1=−
7
9,sin2α=2sinαcosα=−
4
2
9,
所以cos(2α+
π
4)=
2
2(−
7
9+
4
2
9)=
8−7
2
18;
故答案为:
8−7
2
18.
点评:
本题考点: 三角函数的恒等变换及化简求值.
考点点评: 本题考查两角和与差的余弦公式,同角三角函数的基本关系,二倍角的正切公式的应用,求出cosα是解题的关键.