已知:抛物线y=ax2+4ax+t与x轴的一个交点为A(-1,0);

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  • 解题思路:(1)求得抛物线的对称轴,利用点A,B一定关于对称轴对称,可得B的坐标;

    (2)利用以AB为一底的梯形ABCD的面积为9,求得高,可得t的值,(-1,0)代入解析式,可得结论;

    (3)由题意得,E在y=-[5/2]x上,且在x=-2右侧,分别与抛物线y=x2+4x+3联立,确定E的坐标,利用对称性,可使△APE的周长最小,从而可得结论.

    (1)抛物线的对称轴是x=-2,∵点A,B一定关于对称轴对称,

    ∴另一个交点为B(-3,0).

    (2)∵A,B的坐标分别是(-1,0),(-3,0),∴AB=2,

    ∵对称轴为x=-2,∴CD=4;

    设梯形的高是h.

    ∵S梯形ABCD=[1/2]×(2+4)h=9,

    ∴h=3,即|-t|=3,

    ∴t=±3,

    当t=3时,把(-1,0)代入解析式得到a-4a+3=0,,解得a=1,

    当t=-3时,把(-1,0)代入解析式得到a=-1,

    ∴a=1或a=-1,

    ∴解析式为y=x2+4x+3或y=-x2-4x-3;

    (3)由题意得,E在y=-[5/2]x上,且在x=-2右侧,与抛物线y=x2+4x+3联立可得x2+[13/2]x+3=0,∴x=-6或x=-[1/2]

    ∵E与点A在此抛物线对称轴的同侧,∴E(-[1/2],[5/4]).

    A关于对称轴的对称点B(-3,0),连接B与E交对称轴于点P,

    ∵BE的方程为[y−0

    5/4−0=

    x+3

    1

    2+3],即y=

    1

    2x+

    3

    2,

    ∴x=-2时,y=[1/2],即P(-2,[1/2]).

    y=-[5/2]x与y=-x2-4x-3联立可得x2+[3/2]x+3=0,此方程无解

    综上知,抛物线的对称轴上存在点P(-2,[1/2]),使△APE的周长最小.

    点评:

    本题考点: 直线与圆锥曲线的关系;抛物线的标准方程.

    考点点评: 本题考查抛物线的对称性,考查解析式的求解,考查利用对称性解决最值问题,属于中档题.