（1）∵双曲线y=
k
x （x＞0）经过点E（1，a）和点F（9，
2
3 ），
∴
a=k
2
3 =
k
9 ，
解得
a=6
k=6 ，
∴双曲线的解析为：y=
6
x ，点E（1，6）．
设直线l 1的解析式为y=kx+b（k≠0）．
把点E、F的坐标分别代入，得
k+b=6
9k+b=
2
3 ，
解得
k=-
2
3
b=
20
3 ，
则直线l 1的解析式为y=-
2
3 x+
20
3 ；
综上所述，双曲线解析式及直线l 1的解析式分别是：y=
6
x 和y=-
2
3 x+
20
3 ；
（2）①当点P、H、N共线时，线段PH与线段PN的差最大，此时，点P与点E重合，即P（1，6）；
②设P（x，y）（x＞0）．
∵直线l 1的解析式为y=-
2
3 x+
20
3 ，
∴AO=
20
3 ，OM=10，
∴如图，在直角△AOM中，由勾股定理得到：AM=
O A 2 +O M 2 =
(
20
3 ) 2 +1 0 2 =
10
13
3 ．
易求PC=-
2
3 x+
18
3 ．
i）当△PBC ∽ △AMO时，
BC
MO =
PC
AO ，即
x
10 =
-
2
3 x+
18
3
20
3 ，解得x=
9
2 ，则y=-
2
3 ×
9
2 +
20
3 =
11
3 ，故P（
9
2 ，
11
3 ）；
ii）当△PBC ∽ △MAO时，
BC
AO =
PC
MO ，即
x
20
3 =
-
2
3 x+
18
3
10 ，解得x=
36
13 ，则y=-
2
3 ×
36
13 +
20
3 =
188
39 ，故P（
36
13 ，
188
39 ）．
综上所述，符合条件的点P的坐标是P（
9
2 ，
11
3 ）或（
36
13 ，
188
39 ）．
1年前
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