（Ⅰ）从图知，函数的最大值为1，则A=1，
函数f（x）的周期为T=4×（
π
12 +
π
6 ）=π，而T=
2π
ω ，则ω=2，
又x=-
π
6 时，y=0，所以sin（2×（-
π
6 ）+φ）=0，而-
π
2 ＜φ＜
π
2 ，则φ=
π
3 ，
所以函数f（x）的表达式为f（x）=sin（2x+
π
3 ）；
（Ⅱ）因为f（x）=sin（2x+
π
3 ）的周期为π，
f（x）=sin（2x+
π
3 ）在[0，2π]内恰有2个周期，并且方程sin（2x+
π
3 ）=a（-1＜a＜0）在[0，2π]内有4个实根，
x 1 + x 2 =
7
6 π ， x 3 + x 4 =
19
6 π ，
故所有实数根之和为
13
3 π ；
（Ⅲ）g（x）=2sin（x-
π
3 ）+1，
函数y=|g（x）|的图象如图所示：
则当y=|g（x）|图象伸长为原来的5倍以上时符合题意，所以0＜k≤
1
5 ．