Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间

Answer 1

解题思路：（1）依已知可先求首项和公差，进而求出通项a_n和b_n，在求首项和公差时，主要根据先表示出等差数列的三项，根据这三项是等比数列的三项，且三项成等比数列，用等比中项的关系写出算式，解出结果．

（2）由题先求出{a_n}的通项公式后再求S_n．仿写一个题目所给的条件，两式相减得到数列{c_n}的表达式，讨论当3m=1和当3m≠1两种情况，前一种用等差数列的前n项和公式，后一种情况用错位相减法来解出结果．

（1）由题意得（a₁+d）（a₁+13d）=（a₁+4d）²，整理得2a₁d=d²．

∵a₁=1，解得d=2（d=0不合题意舍去），

∴a_n=2n-1

由b₂=a₂=3，b₃=a₅=9，

易求得b_n=3^n-1

（2）当n=1时，c₁=6；

当n≥2时，

cn

mn−1bn=（n+1）a_n+1-na_n=4n+1，

∴c_n=（4n+1）m^n-1b_n=（4n+1）（3m）^n-1．

∴c_n=

6n＝1

(4n+1)(3m)n−1n＝2，3，4

当3m=1，即m=[1/3]时，

S_n=6+9+13+…+（4n+1）

=6+

(n−1)(9+4n+1)

2

=6+（n-1）（2n+5）=2n²+3n+1．

当3m≠1，即m≠[1/3]时，

S_n=c₁+c₂++c_n，即

S_n=6+9•（3m）+13•（3m）²++（4n-3）（3m）^n-2+（4n+1）（3m）^n-1．①

3mS_n=6•3m+9•（3m）²+13•（3m）³++（4n-3）（3m）^n-1+（4n+1）（3m）ⁿ．②

①-②得

（1-3m）S_n=6+3•3m+4•（3m）²+4•（3m）³++4•（3m）^n-1-（4n+1）（3m）ⁿ

=6+9m+4[（3m）²+（3m）³++（3m）^n-1]-（4n+1）（3m）ⁿ

=6+9m+

4[(3m)2−(3m)n]

1−3m-（4n+1）（3m）ⁿ．

∴S_n=

6+9m−(4n+1)(3m)n

1−3m+

4[(3m)2−(3m)n]

(1−3m)2．

∴S_n=

点评：

本题考点： 等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和．

考点点评： 本题主要考查了数列的基本知识和解决数列问题的基本方法，如基本量法，错位相减求和法等．本题是一个综合题，若在高考题中出现时，应该是一个合格的题目．