Question

（2014•荆州二模）函数f（x）=xx（x＞0）是一个非常简洁而重要的函数，为了讨论其性质，可以利用对数恒等式将其变形

Answer 1

（Ⅰ）φ（x）=x

1

x=e

1

xlnx，∴φ′（x）=x

1

x•[1-lnx

x2，

φ′（1）=1，φ（1）=1，∴φ（x）=x

1/x]（x＞0）在x=1处的切线方程为y=x．

令φ′（x）=0得x=e，当x∈（0，e）时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，

当x∈（e，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减，

∴φ（x）在（0，e）时，单调递增，在（e，+∞）时，单调递减．

（Ⅱ）方程φ′（x）=φ（x）（[1

x2-

a/x]+[a-1/2]）等价于x

1

x•[1-lnx

x2=x

1/x]（[1

x2-

a/x]+[a-1/2]），

即[a-1/2x2-ax+lnx=0，设g（x）=

a-1

2x2-ax+lnx （x＞0），

∴g′（x）=（a-1）x-a+

1

x]=

(a-1)x2-ax+1

x，

①当a=1时，g′（x）=[1-x/x]，x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）递增，x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）递减，

[g（x）]_max=g（1）=-1＜0，此时方程无实数根；

②当a＞1时，g′（x）=（a-1）x-a+[1/x]=

(a-1)x2-ax+1

x=

(a-1)(x-