解题思路：（1）利用绝对值的定义，去掉绝对值，将函数f（x）转化成分段函数，再对分段函数的每一段研究它的单调性，即可确定f（x）的单调区间；
（2）将问题转化为f（x）在[0，1]上的最大值小于等于g（x）在[0，2]上的最大值，即分别求f（x）在[0，1]上的最大值和g（x）在[0，2]上的最大值．对于g（x）易判断出它的单调性，即可求得g（x）在[0，2]上的最大值；对于f（x），结合（1）的结论，分类讨论即可求得f（x）在[0，1]上的最大值．列出不等式，即可求出实数a的取值范围．
（1）∵f（x）=（x-a）|x-2|，
∴f(x)＝
(x−a)(x−2) ， x≥2
−(x−a)(x−2) ， x＜2，
①当a=2时，f（x）的递增区间是（-∞，+∞），f（x）无减区间；
②当a＞2时，f（x）的递增区间是（-∞，2），(
a+2
2，+∞)，f（x）的递减区间是(2，
a+2
2)；
③当a＜2时，f（x）的递增区间是(−∞，
a+2
2)，（2，+∞），f（x）的递减区间是(
a+2
2，2)．
（2）∵对任意实数m∈[0，1]，总存在实数n∈[0，2]，使得不等式f（m）≤g（n）成立，
∴f（x）在[0，1]上的最大值小于等于g（x）在[0，2]上的最大值，
当x∈[0，2]时，g（x）=2x+x-2单调递增，
∴g（x）max=g（2）=4．
当x∈[0，1]时，f（x）=-（x-a）（x-2）=-x2+（2+a）x-2a，
①当[a+2/2≤0，即a≤-2时，f（x）max=f（0）=-2a，
∴g（x）max≤f（x）max，即-2a≤4，解得a≥-2，
∴a=-2；
②当0＜
a+2
2≤1，即-2＜a≤0时，f（x）max=f(
a+2
2)＝
a2−4a+4
4]，
∴g（x）max≤f（x）max，即
a2−4a+4
4≤4，解得-2≤a≤6，
∴-2＜a≤0；
③当
a+2
2＞1，即a＞0时，f（x）max=f（1）=1-a，
∴g（x）max≤f（x）max，即1-a≤4，解得a≥-3，
∴a＞0．
综合①②③，实数a的取值范围是[-2，+∞）．
点评：
本题考点： 函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明．
考点点评： 本题考查了分段函数的性质，主要考查了分段函数的单调性和最值的求解．对于分段函数的问题，一般选用分类讨论和数形结合的数学思想方法进行研究．属于中档题．