Question

设λ0是n阶可逆矩阵A的一个特征值，则|A|E-λ0A*的行列式等于______．

Answer 1

解题思路：首先，对所求的行列式乘以|A|同时也除以|A|；然后，利用方阵行列式的性质，将A乘到里面去，根据特征多项式和伴随矩阵的性质，化简即可求得．

由于A可逆，因此|A|≠0

∴||A|E−λ0A*|=

|A|•||A|E−λ0A*|

|A|=

1

|A|•||A|A−λ0AA*|，

而AA^*=|A|E，因此

||A|E−λ0A*|=

|A|n

|A||A−λ0E|＝(−1)n|A|n−1•|λ0E−A|

又A的特征多项式为|λE-A|，且已知λ₀是n阶可逆矩阵A的一个特征值

∴|λ₀E-A|=0

∴||A|E−λ0A*|=0

点评：

本题考点： 可逆矩阵的性质；矩阵的特征值和特征向量的性质．

考点点评： 此题考查方阵行列式的性质和逆矩阵的性质以及伴随矩阵的性质，是基础知识点的综合．