：（1）抛物线y=ax2+bx+3经过点A（-3,0）,B（-1,0）两点,
∴
9a3b+3＝0
ab+3＝0
,
解得a=1,b=4,
∴抛物线解析式为y=x2+4x+3；
（2）由（1）配方得y=（x+2）2-1
∴抛物线的顶点M（-2,-1）,
直线OD的解析式为y=
1
2
x．于是设平移后的抛物线的顶点坐标为（h,
1
2
h）,
∴平移后的抛物线解析式为y=（x-h）2+
1
2
h,
①当抛物线经过点C时,∵C（0,9）,
∴h2+
1
2
h=9,解得h=
1±
145
4
,
∴当
1
145
4
≤h＜
1+
145
4
时,平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点,
②当抛物线与直线CD只有一个公共点时,由方程组
y＝(xh)2+
1
2
h
y＝2x+9
,
得x2+（-2h+2）x+h2+
1
2
h-9=0,
∴△=（-2h+2）2-4（h2+
1
2
h-9）=0,
解得h=4,
此时抛物线y=（x-4）2+2与射线CD只有唯一一个公共点为（3,3）,
综上所述,平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点时,
顶点横坐标h的取值范围为h=4或
1
145
4
≤h＜
1+
145
4
；
（3）设直线EF的解析式为y=kx+3（k≠0）,
点E、F的坐标分别为（m,m2）,（n,n2）,
由
y＝x2
y＝kx+3
得x2-kx-3=0,
∴m+n=k,mn=-3,
作点E关于y轴的对称点R（-m,m2）,作直线FR交y轴于点P,
由对称性知∠EPQ=∠FPQ,此时△PEF的内心在y轴上,
∴点P即为所求的点．
由F,R的坐标可得直线FR的解析式为y=（n-m）x+mn记y=（n-m）x-3,
当x=0时,y=-3,
∴p（0,-3）,
∴y轴的负半轴上存在点P（0,-3）使△PEF的内心在y轴上．