Question

如图已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．设抛物线的顶点为

Answer 1

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），

把（0，3）代入，

解得a=-1，

解析式为y=-x²+2x+3，

则点D的坐标为（1，4），

（2）设直线BC的解析式为y=kx+3，把B（3，0）代入，

解得k=-1，所以F（1，2），

∴DF=4-2=2，

△BCD的面积=

1

2×2×1+

1

2×2×2＝3；

（3）①点C即在抛物线上，CD=

2，BC=3

2，BD＝2

5．

∵CD²+BC²=20，BD²=20，

∴CD²+BC²=BD²，

∴∠BCD=90°，

这时Q与C点重合点Q坐标为Q（0，3），

②如图②，若∠DBQ为90°，作QP⊥x轴于P，DH⊥x轴于H

可证Rt△DHB∽Rt△BPQ，

有

DH

BP=

HB

PQ，

则点Q坐标（k，-k²+2k+3），

即

4

3?k＝

2

k2?2k?3，

化简为2k²-3k-9=0，

即（k-3）（2k+3）=0，

解之为k=3或k＝?

3

2，

由k＝?

3

2得Q坐标：Q(?

3

2，?

9

4)，

③若∠BDQ为90°，

如图③，延长DQ交y轴于M，

作DE⊥y轴于E，DH⊥x轴于H，

可证明△DEM∽△DHB，

即

DE

DH＝

EM

HB，

则

1

4＝

EM

2，

得EM＝

1

2，

∵点M的坐标为(0，

7

2)，DM所在的直线方程为y＝

1

2x+

7

2，

则y＝

1

2x+

7

2与y=-x²+2x+3的解为x＝

1

2，

得交点坐标Q为(

1

2，

15

4)，

即满足题意的Q点有三个，（0，3），（-

3

2，-

9

4），（

1

2，

15

4）．