Question

线性相关向量组的秩向量组a1,a2...as的秩为r,求证,从中任取m个向量组成的向量组的秩大于等于r+m-s

Answer 1

把向量组先视为矩阵

A=[a1,a2,...,as]

在其中取m列后得到的矩阵相当于

B=AP

其中P是sxm的矩阵,每一列都是取自单位阵Is的列,且互不相同

则r(A)=r,r(P)=m,利用Sylvester不等式得

r(B)=r(AP)>=r(A)+r(P)-s=r+m-s

如果不会证明Sylverster不等式,那么看这里