解题思路：（1）直接利用函数的图象，求出函数的周期，得到ω，然后利用函数经过的点求出φ，即可得到其解析式．
（2）化简g（x）=
f
2
(x)−2f(x)+2
f(x)−1
，通过换元法，结合正弦函数的单调性即可求解当
x∈[0，
π
4
]
时，g（x）的最大值．
（1）设函数f（x）的周期为T，
则由图知[3/4]T=[7π/8−
π
8＝
3π
4]，∴T=π，
∴ω＝
2π
π＝2，
∴f（x）=Asin（2x+ϕ）
将点（[7π/8，0）代入得sin（2×
7π
8]+ϕ）=0，
∴[7π/4+φ=2kπk∈Z，
∴φ=−
7π
4+2kπk∈Z．
∵|ϕ|＜
π
2]，
∴φ=[π/4]．
∴f（x）=Asin（2x+[π/4]）．
将点（0，
2）代入得
2=Asin[π/4]，∴A=2，
∴f（x）=2sin（2x+[π/4]），
（2）g（x）=
f2(x)−2f(x)+2
f(x)−1＝
(f(x)−1)2+1
f(x)−1＝(f(x)−1)+
1
f(x)−1，
设m=f（x）-1=2sin（2x+[π/4]）-1，则y=m+[1/m]，
当x∈[0，
π
4]时，2x+[π/4]∈[[π/4]，[3π/4]]，sin2x+[π/4]∈[
2
2，1]，m∈[
2−1，1]，
y=m+[1/m]在[
2−1，1]为减函数，
当m=
2−1，即2sin（2x+[π/4]）-1=
2−1，即x=0或x=[π/4]时，g（x）取得最大值2
2．
点评：
本题考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正切函数的值域．
考点点评： 本题考查三角函数的解析式的求法，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．