已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.

2个回答

  • 解题思路:(I)由题意知f(f(2)-22+2)=f(2)-22+2,f(1)=1,由上此可推出f(a)=a.

    (II)因为对任意x∈R,有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)=x0

    所以对任意x∈R,有f(x)-x2+x=x0,因为f(x0)=x0,所以x0-x02=0,故x0=0或x0=1.由此可推导出f(x)=x2-x+1(x∈R).

    (I)因为对任意x∈R,有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x

    所以f(f(2)-22+2)=f(2)-22+2

    又由f(2)=3,得f(3-22+2)=3-22+2,即f(1)=1

    若f(0)=a,则f(a-02+0)=a-02+0,即f(a)=a.

    (II)因为对任意x∈R,有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.

    又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)=x0

    所以对任意x∈R,有f(x)-x2+x=x0

    在上式中令x=x0,有f(x0)-x02+x0=x0

    又因为f(x0)=x0,所以x0-x02=0,故x0=0或x0=1

    若x0=0,则f(x)-x2+x=0,即f(x)=x2-x

    但方程x2-x=x有两个不相同实根,与题设条件矛盾.故x0≠0

    若x0=1,则有f(x)-x2+x=1,即f(x)=x2-x+1,此时f(x)=x有且仅有一个实数1.

    综上,所求函数为f(x)=x2-x+1(x∈R)

    点评:

    本题考点: 函数解析式的求解及常用方法.

    考点点评: 本题考查函数的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答.