Question

设函数y=f（x）且lg（lgy）=lg3x+lg（3-x）．

Answer 1

解题思路：①根据lg（lgy）=lg3x+lg（3-x），和对数的运算法则，可得lg（lgy）=lg[3x（3-x）]（0＜x＜3），注意函数的定义域，即lgy=3x（3-x），再利用指数和对数的互化即可求得求f（x）的解析式，定义域；②根据复合函数的单调性进行判断，外函数10^u是增函数，内涵式u=3x（3-x）=3（3x-x²）在（0，[3/2]]上单调递增，在[

3

2

，3

）上单调递减，从而求得函数的单调性，并根据单调性求得函数的值域．

①∵lg（lgy）=lg3x+lg（3-x）=lg[3x（3-x）]（0＜x＜3），

∴lgy=3x（3-x），

即f（x）=10^3x（3-x）；x∈（0，3）

②由①知，f（x）=10^3x（3-x）；x∈（0，3）

令u=3x（3-x）=3（3x-x²）在（0，[3/2]]上单调递增，在[[3/2，3）上单调递减，

而10^u是增函数，

∴f（x）在（0，

3

2]]上单调递增，在[[3/2，3）上单调递减，

∴当x=0，3时，f（x）取最小值1，当x=

3

2]时，f（x）取最大值10

27

4．

∴f（x）的值域为（1，10

27

4]．

点评：

本题考点： 指数函数的单调性与特殊点；指数函数的定义、解析式、定义域和值域．

考点点评： 此题是中档题．考查了对数的运算法则和定义域，以及指数与对数的互化，复合函数单调性的判定方法等基础题知识，同时考查学生分析解决问题的能力．