（1）f（x）的定义域为（0，+∞），当a=1时， f ′ (x)=
1
x -2
由f′（x）＞0得 0＜x＜
1
2 ，
由f′（x）＜0，得 x＞
1
2
∴f（x）的单调增区间为 (0，
1
2 ) ，单调减区间为 (
1
2 ，+∞) -------（4分）
（2）f（x）的定义域为（0，+∞） f ′ (x)=
a
x -2=
a-2x
x ＜0 ，即2x-a＞0
∵函数在（1，+∞）上为单调减函数，∴
a
2 ≤1 ∴a≤2-----（9分）
（3）由题意：g（x）=alnx-2x+x 2+1∴ g ′ (x)=
a
x -2+2x=
2 x 2 -2x+a
x (x＞0) ，
若函数g（x）有极值点，∵x＞0
∴2x 2-2x+a=0有两解且在（0，+∞）至少有一解，----------（11分）
由△=4-8a＞0得 a＜
1
2 ------①----------（13分）
由2x 2-2x+a=0在（0，+∞）至少有一解，得a=-2x 2+2x在（0，+∞）至少有一解
设y 1=a，y 2=-2x 2+2x（x＞0），则有两图象至少有一个交点，
解得 a≤
1
2 ------②----------（15分）
由①②得 a＜
1
2 ，
综上：当 a＜
1
2 时函数g（x）有极值点----------（16分）