Question

国际上钻石的重量计量单位为克拉，已知某种钻石的价值v（美元）与其重量w（克拉）的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的

Answer 1

（Ⅰ）依题意设v=kw ²，又当w=3时，v=54000，∴k=6000，故v=kw ²=6000w ²（w＞0）；

（II）设这颗钻石的重量为a克拉，则按重量比为1：x切割后的价值为6000（

1

1+x a ） ²+6000（

x

1+x a ） ²，

价值损失为6000a ²-[6000（

1

1+x a ） ²+6000（

x

1+x a ） ²]

∴价值损失的百分率为y={6000a2-[6000（

1

1+x a ） ²+6000（

x

1+x a ） ²]}÷6000a2×100%=

2x

(1+x ) 2

∴y=

2x

(1+x) 2 （x≥1）；

（III）证明：由（II）y=

2x

(1+x) 2 =

2

1

x +2+x

∵x≥1，∴

1

x +x≥2

∴

2

1

x +2+x ≤

1

2 ，等号当且仅当x=1时成立，此时y有最大值

1

2 ．

故当重量比为1：1时，价值损失的百分率达到最大．