解题思路：（1）根据“钻石的价值V（美元）与其重量W（克拉）的平方成正比”建立模型v=kw2，再由“一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元”解得模型．
（2）设这颗钻石的重量为a克拉，根据（1）可知，按重量比为1：3切割后的价值为
6000(
1
4
a
)
2
+6000(
3
4
a
)
2
，则价值损失为
6000
a
2
−[6000(
1
4
a
)
2
+6000(
3
4
a
)
2
]
，根据“价值损失的百分率=[原有价值−现有价值/原有价值×100%”求解．
（3）证明：先建立价值损失的百分率模型为：
6000(m+n
)
2
−(6000
m
2
+6000
n
2
)
6000
(m+n)
2
＝
2mn
(m+n)
2
]，再用基本不等式求得最值．
解（1）依题意设v=kw2，（2分）
又当w=3时，v=54000，∴k=6000（3分）
故v=6000w2（4分）
（2）设这颗钻石的重量为a克拉，
由（1）可知，按重量比为1：3切割后的价值为6000(
1
4a)2+6000(
3
4a)2（6分）
价值损失为6000a2−[6000(
1
4a)2+6000(
3
4a)2]（7分）
价值损失的百分率为
6000a2−[6000(
1
4a)2+6000(
3
4a)2]
6000a2＝0.375＝37.5%
答：价值损失的百分率为37.5%（8分）
（3）证明：价值损失的百分率为
6000(m+n)2−(6000m2+6000n2)
6000(m+n)2＝
2mn
(m+n)2≤
2(
m+n
2)2
(m+n)2＝
1
2]
当且仅当m=n时，等号成立．
即把一颗钻石切割成两颗钻石，当两颗钻石的重量相等时，价值损失的百分率最大．（12分）
点评：
本题考点： 函数模型的选择与应用．
考点点评： 本题主要考查函数模型的建立与应用，主要涉及了新定义构造函数和基本不等式求最值．
1年前
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