Question

已知函数f（x）=px 2 +qx，其中p＞0，p+q＞1，对于数列{a n }，设它的前n项和为S n ，且满足S n

Answer 1

（1）∵S _n=f（n）=pn ²+qn∴当n=1时，a ₁=s ₁=p+q

当n≥2时，a _n=S _n-S _n-1=pn ²+qn-[p（n-1） ²+q（n-1）]=2pn-p+q

由于n=1时，a ₁=p+q适合上式，故数列{a _n}的通项公式为a _n=2pn-p+q…（3分）

又∵a _n+1-a _n=2p＞0，

∴{a _n}是首项为p+q，公差为2p的等差数列，∴a _n+1＞a _n＞…＞a ₁=p+q＞1，

∴a _n+1＞a _n＞1…（4分）

（2）设M _i，M _j（i≠j）是M ₁，M ₂，…，M _n中任意两点，则 M i (i，

S i

i )， M j (j，

S j

j )

∵ k M i M j =

S i

i -

S j

j

i-j =

j S i -i S j

ij(i-j) =

j•

i( a 1 + a i )

2 -i•

j( a 1 + a j )

2

ij(i-j)

=

ij( a 1 + a i )-ij( a 1 + a j )

2ij(i-j) =

a i - a j

2(i-j) =

[ a 1 +(i-1)2p]-[ a 1 +(j-1)2p]

2(i-j)

=P…（8分）

∴M _i，M _j两点连线的斜率为定值P，又M _i，M _j是M ₁，M ₂，…，M _n中任意两点，

∴点M ₁，M ₂，…，M _n在同一直线l ₁上…（9分）

（3）∵N ₁，N ₂两点连线的斜率为 k 2 =

a 2 - a 1

2-1 =2p ，

又∵直线l ₁的斜率为k ₁=p，由夹角公式得

tanθ|

k 1 - k 2

1+ k 1 k 2 |=

p

1+2 p 2 =

1

1

p +2p ≤

1

2

2 …（13分）

当且仅当

1

p =2p 即 p=

2

2 时，上式等号成立．

故当 p=

2

2 时，tanθ有最大值

2

4 …（14分）