（1）解法一：连接AC
∵DE为⊙A的直径，DE⊥BC
∴BO=CO
∵D（0，3），E（0，-1）
∴DE=|3-（-1）|=4，OE=1
∴AO=1，AC=
1
2 DE=2
在Rt△AOC中，AC 2=AO 2+OC 2
∴OC=
3
∴C（
3 ，0），B（
3 ，0）
设经过B、E、C三点的抛物线的解析式为 y=a(x-
3 )(x+
3 ) ，
则-1=a（0-
3 ）（0+
3 ）
解得a=
1
3
∴y=
1
3 （x-
3 ）（x+
3 ）=
1
3 x 2-1（2分）．
解法二：∵DE为⊙A的直径，DE⊥BC
∴BO=CO
∴OC 2=OD•OE
∵D（0，3），E（0，-1）
∴DO=3，OE=1
∴OC2=3×1=3
∴OC=
3
∴C（
3 ，0），B（-
3 ，0）
以下同解法一；
（2）解法一：过点P作PF⊥y轴于F，过点Q作QN⊥y轴于N
∴∠PFA=∠QNA=90°，F点的纵坐标为t
N点的纵坐标为y
∵∠PAF=∠QAN，PA=QA
∴△PFA≌△QNA
∴FA=NA
∵AO=1
∴A（0，1）
∴|t-1|=|1-y|
∵动切线PM经过第一、二、三象限
观察图形可得1＜t＜3，-1＜y＜1．
∴t-1=1-y．
即y=-t+2．
∴y关于t的函数关系式为y=-t+2（1＜t＜3）（5分）
解法二：（i）当经过一、二、三象限的切线PM运动到使得Q点与C点重合时，y=0
连接PB
∵PC是直径
∴∠PBC=90°
∴PB⊥x轴，
∴PB=t．
∵PA=AC，BO=OC，AO=1，
∴PB=2AO=2，
∴t=2．
即t=2时，y=0．
（ii）当经过一、二、三象限的切线
PM运动使得Q点在x轴上方时，y＞0
观察图形可得1＜t＜2
过P作PS⊥x轴于S，过Q作QT⊥x轴于T
则PS ∥ AO ∥ QT
∵点A为线段PQ的中点
∴点O为线段ST的中点
∴AO为梯形QTSP的中位线
∴AO=
QT+PS
2
∴1=
y+t
2
∴y=-t+2．
∴y=-t+2（1＜t＜2）．
（iii）当经过一、二、三象限的切线PM运动使得Q点在x轴下方时，y＜0，观察图形可得2＜t＜3
过P作PS⊥x轴于S，过Q作QT⊥x轴于T，设PQ交x轴于R
则QT ∥ PS
∴△QRT ∽ △PRS
∴
QT
PS =
QR
PR
设AR=m，则
-y
t =
2-m
2+m &&（1）
又∵AO⊥x轴，
∴AO ∥ PS
∴△ROA ∽ △RSP
∴
AO
PS =
RA
RP
∴
1
t =
m
2+m &&（2）
由（1）、（2）得y=-t+2
∴y=-t+2（2＜t＜3）
综上所述：y与t的函数关系式为y=-t+2（1＜t＜3）（5分）
（3）解法一：当y=0时，Q点与C点重合，连接PB
∵PC为⊙A的直径
∴∠PBC=90°
即PB⊥x轴
∴s=-
3
将y=0代入y=-t+2（1＜t＜3），得0=-t+2
∴t=2∴P（-
3 ，2）
设切线PM与y轴交于点I，则AP⊥PI
∴∠API=9
0°
在△API与△AOC中
∵∠API=∠AOC=90°，∠PAI=∠OAC
∴△API ∽ △AOC
∴
AP
AO =
AI
AC
∴I点坐标为（0，5）
设切线PM的解析式为y=kx+5（k≠0），
∵P点的坐标为 (-
3 ，2) ，
∴2=-
3 k+5．
解得k=
3 ，
∴切线PM的解析式为y=
3 x+5（7分）
设切线PM与抛物线y=
1
3 x 2-1交于G、H两点
由
y=
1
3 x 2 -1
y=
3 x+5
可得x 1=
3
3 -3
11
2 ， x 2 =
3
3 +3
11
2
因此，G、H的横坐标分别为
3
3 -3
11
2 、
3
3 +3
11
2
根据图象可得抛物线在切线PM下方的点的横坐标x的取值范围是
3
3 -3
11
2 ＜x＜
3
3 +3
11
2 （9分）
解法二：同（3）解法一
可得P（-
3 ，2）
∵直线PM为⊙A的切线，PC为⊙A的直径
∴PC⊥PM
在Rt△CPM与Rt△CBP中
cos∠PCM=
PC
CM =
CB
PC
∵CB=2
3 ，PC=4
∴CM=
P C 2
CB =
16
2
3 =
8
3
3
设M点的坐标为（m，0），
则CM=
3 -m=
8
3
3
∴m=-
5
3
3 ．
即M（-
5
3
3 ，0）．
设切线PM的解析式为y=kx+b（k≠0），
得
0=-
5
3
3 k+b 2=-
3 k+b．
解得
k=
3
b=5
∴切线PM的解析式为y=
3 x+5（7分）
以下同解法一．